Distribució de Cauchy multivariant

En Teoria de la probabilitat i Estadística, la distribució de Cauchy multivariant o multivariable és una extensió vectorial de la distribució de Cauchy i coincideix amb una distribució $t$ multivariant amb un grau de llibertat. Pertany a la família de distribucions amb simetria el·líptica i és una distribució estable.

Definició

Escriurem tots els vectors en columna i per una matriu o vector ${\boldsymbol {A}}$ , designarem per ${\boldsymbol {A}}'$ la seva transposada.

Sigui ${\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\dots ,\mu _{p})'\in \mathbb {R} ^{p}$ i ${\boldsymbol {\Sigma }}$ una matriu $p\times p$ definida positiva (en particular, simètrica i amb determinant diferent de 0). Un vector aleatori ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{p})'$ es diu que té distribució de Cauchy multivariant (o multivariable) amb paràmetres ${\boldsymbol {\mu }}$ i ${\boldsymbol {\Sigma }}$ si té funció de densitat

$$f_{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}})={\frac {\Gamma {\big (}(p+1)/2{\big )}}{\pi ^{(p+1)/2}\,{\sqrt {{\text{det}}\,{\boldsymbol {\Sigma }}}}}}\,{\frac {1}{{\big (}1+({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }}){\big )}^{(p+1)/2}}},\quad {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{p})'\in \mathbb {R} ^{p},\qquad \qquad (1)$$

on ${\text{det}}\,{\boldsymbol {\Sigma }}$ és el determinant de la matriu ${\boldsymbol {\Sigma }}$. S'escriu ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ o ${\boldsymbol {X}}\sim {\text{Cauchy}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$. Coincideix amb una distribució t multivariant amb un grau de llibertat, ${\boldsymbol {t}}_{p}(1,{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$.

Quan ${\boldsymbol {\mu }}={\boldsymbol {0}}$ i ${\boldsymbol {\Sigma }}={\boldsymbol {I}}_{p}$, on ${\boldsymbol {I}}_{p}$ és la matriu identitat de dimensió $p$, aleshores la funció de densitat és

$$f_{\boldsymbol {X}}(x_{1},\dots ,x_{p})={\frac {\Gamma {\big (}(p+1)/2{\big )}}{\pi ^{(p+1)/2}}}\,{\frac {1}{(1+\sum _{j=1}^{p}x_{j}^{2})^{(p+1)/2}}}.\qquad \qquad (2)$$

que és una extensió vectorial de la distribució de Cauchy estàndard ${\mathcal {C}}(0,1)$.

Observació sobre les notacions. En el cas $p=1$, amb ${\boldsymbol {\Sigma }}=\sigma ^{2}$ , $\sigma >0$, la funció de densitat (1) és

$$f(x)={\frac {1}{\pi \sigma }}\,{\frac {1}{1+{\Big (}{\dfrac {x-\mu }{\sigma }}{\Big )}^{2}}}.$$

En la notació de la distribució de Cauchy ordinària aquesta densitat correspon a una distribució ${\mathcal {C}}(\mu ,\sigma )$, mentre que en la notació multivariant seria ${\mathcal {C}}_{1}(\mu ,\sigma ^{2})$. En aquest article, quan $p=1$, escriurem ${\mathcal {C}}(\mu ,\sigma )$ .

Propietats

La majoria de propietats s'obtenen directament de les de la distribució $t$ multivariant amb un grau de llibertat. Algunes de les més importants són

Representacions

1. Si $Z_{1},\dots ,Z_{p+1}$són variables aleatòries normals estàndard independents. Aleshores

$${\Big (}{\frac {Z_{1}}{\vert Z_{p+1}\vert }},\dots ,{\frac {Z_{p}}{\vert Z_{p+1\vert }}}{\Big )}^{\prime }\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{p}).$$

2. A més, a l'igual que en el cas de la distribució de Cauchy estàndard ordinària, podem suprimir el valor absolut dels denominadors:

$${\Big (}{\frac {Z_{1}}{Z_{p+1}}},\dots ,{\frac {Z_{p}}{Z_{p+1}}}{\Big )}^{\prime }\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{p}).\qquad \qquad (3)$$

Aquesta propietat pot demostrar-se mitjançant la transformació $(Z_{1},\dots ,Z_{p},Z_{p+1})\longrightarrow {\Big (}{\frac {Z_{1}}{Z_{p+1}}},\dots ,{\frac {Z_{p}}{Z_{p+1}}},Z_{p+1}{\Big )}$ (vegeu la fórmula de canvi de variables per a vector aleatoris) i calculant la densitat marginal del vector ${\Big (}{\frac {Z_{1}}{Z_{p+1}}},\dots ,{\frac {Z_{p}}{Z_{p+1}}}{\Big )}$. Vegeu els detalls en el cas $p=1$ a Severini ; en el cas vectorial els càlculs són molt anàlegs.

3. Sigui ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{p})$, ${\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {R} ^{p}$ i ${\boldsymbol {\Sigma }}$ una matriu $p\times p$ definida positiva. Designem per ${\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}$ l'arrel quadrada de la matriu ${\boldsymbol {\Sigma }}$. Aleshores

$${\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}{\boldsymbol {X}}+{\boldsymbol {\mu }}\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}).\qquad \qquad (4)$$

Recíprocament, si ${\boldsymbol {V}}\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$, llavors,

$${\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}({\boldsymbol {V}}-{\boldsymbol {\mu }})\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{p}).$$

Distribucions marginals

Sigui ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$. Aleshores qualsevol subvector te distribució de Cauchy (multivariant).

Transformacions afins

Sigui ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$, ${\boldsymbol {B}}$ una matriu $p\times p$ definida positiva (en particular, simètrica) i ${\boldsymbol {b}}\in \mathbb {R} ^{p}$. Aleshores

$${\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {X}}+{\boldsymbol {b}}\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {\mu }}+{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {B\Sigma B}}).$$

Combinacions lineals de les components

Sigui ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$. Considerem una combinació lineal de les seves components

$$S={\boldsymbol {a}}'{\boldsymbol {X}}=\sum _{j=1}^{p}a_{j}X_{j},$$

on ${\boldsymbol {a}}=(a_{1},\dots ,a_{p})'$ . Aleshores

$$S\sim {\mathcal {C}}({\boldsymbol {a}}'{\boldsymbol {\mu }},{\sqrt {{\boldsymbol {a\Sigma }}{\boldsymbol {a}}'}}),$$

on aquesta última és una distribució de Cauchy ordinària (vegeu el comentari sobre les notacions a la definició més amunt).

Moments i funció generatriu de moments

La distribució de Cauchy multivariant no té moments de cap ordre ni funció generatriu de moments.

La distribució de Cauchy té simetria el·líptica

La distribució de Cauchy ${\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ té simetria el·liptica. Quan ${\boldsymbol {\mu }}={\boldsymbol {0}}$ i ${\boldsymbol {\Sigma }}=c^{2}{\boldsymbol {I}}_{p}$, amb $c>0$, té simetria esfèrica.

Funció característica

La funció característica d'una distribució de Cauchy ${\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ és

$$\varphi ({\boldsymbol {t}})=e^{i{\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {\mu }}-{\sqrt {{\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {\Sigma }}{\boldsymbol {t}}}}},\quad {\boldsymbol {t}}\in \mathbb {R} .$$

Quan ${\boldsymbol {\mu }}={\boldsymbol {0}}$ i ${\boldsymbol {\Sigma }}={\boldsymbol {I}}_{p}$, llavors

$$\varphi (t_{1},\dots ,t_{p})=e^{-{\sqrt {\sum _{j=1}^{p}t_{j}^{2}}}}.$$

Prova

Aquesta funció característica es pot deduir de les fórmules de Sutradhar de la funció característica d'una distribució $t$ multivariant o . per al cas amb un grau de llibertat. Alternativament, es pot fer la següent demostració directa (veieu Seberini per el cas de la distribució de Cauchy estàndard ordinària).

Començarem per la distribució de Cauchy ${\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{p})$. Siguin $Z_{1},\dots ,Z_{p+1}$ variables aleatòries normals estàndard independents. D'acord amb (3)

$${\boldsymbol {X}}={\Big (}{\frac {Z_{1}}{Z_{p+1}}},\dots ,{\frac {Z_{p}}{Z_{p+1}}}{\Big )}^{\prime }\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{p}).$$

Llavors, fixats $t_{1},\dots ,t_{p}\in \mathbb {R}$, donada la independència entre les variables $Z_{1},\dots ,Z_{p+1}$ i les propietats de l'esperança condicionada, tenim que

$$\varphi _{\boldsymbol {X}}(t_{1},\dots ,t_{p})=E{\Big [}\exp {\big \{}i\sum _{j=1}^{p}t_{j}{\frac {Z_{j}}{Z_{p+1}}}{\big \}}{\Big ]}=E{\Big [}E{\big [}\exp {\big \{}i\sum _{j=1}^{p}t_{j}{\frac {Z_{j}}{Z_{p+1}}}{\big \}}\,\vert Z_{p+1}{\big ]}{\Big ]}=E[h(Z_{p+1})],$$

on $h$ és la funció

$$h(x)=E{\Big [}\exp {\big \{}i\sum _{j=1}^{p}t_{j}{\frac {Z_{j}}{x}}{\big \}}{\Big ]}.$$

A partir de la independència de $Z_{1},\dots ,Z_{p}$ i de la funció característica d'una distribució normal estàndard,

$$h(x)=E{\Big [}\exp {\big \{}i\sum _{j=1}^{p}t_{j}{\frac {Z_{j}}{x}}{\big \}}{\Big ]}=\exp {\bigg \{}-{\frac {\sum _{j=1}^{p}t_{j}^{2}}{2x^{2}}}{\bigg \}}.$$

Escrivim

$$a={\sqrt {\sum _{j=1}^{p}t_{j}^{2}}}.$$

Llavors,

$$\varphi _{\boldsymbol {X}}(t_{1},\dots ,t_{p})=E[h(Z_{p+1})]={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {a^{2}}{2x^{2}}}-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {a^{2}}{2x^{2}}}-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {a^{2}}{4y}}-y}{\frac {1}{\sqrt {y}}}\,dy,$$

on a l'última igualtat hem fet el canvi de variables $y=x^{2}/2$ . La integral de la dreta es pot calcular notant que

$$\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {a^{2}}{4y}}-y}{\frac {1}{\sqrt {y}}}\,dy=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {a^{2}}{4y}}}}{\sqrt {y}}}\,e^{-y}\,dy,$$

i, per tant, és la transformada de Laplace de la funció $g(y)=e^{-a^{2}/(4y)}/{\sqrt {y}}$ avaluada en el punt $s=1$ . Aquesta transformada de Laplace és coneguda: per a $a\geq 0$ ,

$${\mathcal {L}}\{g\}(s)=\int _{0}^{\infty }g(y)\,e^{-sy}\,dy={\sqrt {\pi }}\,{\frac {1}{\sqrt {s}}}e^{-a{\sqrt {s}}}.$$

(Vegeu Schiff, taula de la pàgina 214, i pàgines 178-179 per a la seva demostració). En resum, tenim que

$$\varphi _{\boldsymbol {X}}(t_{1},\dots ,t_{p})={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,{\mathcal {L}}\{g\}(1)=e^{-a}=e^{-{\sqrt {\sum _{j=1}^{p}t_{j}^{2}}}}.$$

Observació. La integral$\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {a^{2}}{4y}}-y}{\frac {1}{\sqrt {y}}}\,dy$ també es pot calcular utilitzant la representació integral de la funció de Bessel modificada de segon tipus $W_{\nu }(z)$ i el seu valor per a $\nu =-1/2$.

La funció característica d'una distribució de Cauchy multivariant general ${\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ es dedueix de la fórmula anterior, de l'expressió (4) i de les propietats de les funcions característiques en el cas multidimensional.

Suma de vectors aleatoris de Cauchy independents i aplicacions

En aquesta secció ens restringirem al cas ${\boldsymbol {\Sigma }}=c^{2}\,{\boldsymbol {I}}_{p}$, amb $c>0$. La seva funció característica és

$$\varphi ({\boldsymbol {t}})=e^{i{\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {\mu }}-c{\sqrt {{\boldsymbol {t}}'{\boldsymbol {t}}}}},\quad {\boldsymbol {t}}\in \mathbb {R} .$$

A partir d'aquesta funció de densitat es demostra la següent propietat: Siguin ${\boldsymbol {X}}_{1}\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }}_{1},c_{1}^{2}{\boldsymbol {I}}_{p}),\dots ,{\boldsymbol {X}}_{n}\sim {\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }}_{n},c_{n}^{2}{\boldsymbol {I}}_{p})$ i $a_{1}\dots ,a_{n}\in \mathbb {R}$, independents. Llavors

$$a_{1}{\boldsymbol {X}}_{1}+\cdots +a_{n}{\boldsymbol {X}}_{n}\sim {\mathcal {C}}_{p}{\bigg (}\sum _{j=1}^{n}a_{j}{\boldsymbol {\mu }}_{j},\,{\big (}\sum _{j=1}^{n}\vert a_{j}\vert \,c_{j}{\big )}^{2}{\boldsymbol {I}}_{p}{\bigg )}.$$

D'aquí es dedueix (o directament de la forma de la funció característica) que la distribució de Cauchy multivariant ${\mathcal {C}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},c^{2}\,{\boldsymbol {I}}_{p})$, amb $c>0$, és estrictament estable i infinitament divisible

Una altra definició de la distribució de Cauchy multivariant

En un notable article, Ferguson proposa una definició de distribució de Cauchy multivariant que adapta a aquest context una caracterització de la distribució normal multivariant.

Definició (Ferguson ). Direm que un vector aleatori ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{p})'$ té una distribució de Cauchy multivariant si i només si tota combinació lineal de les seves components té una distribució de Cauchy. La distribució és diu simètrica si la massa es distribueix simètricament respecte algun punt de l'espai $\mathbb {R} ^{p}$ .

A continuació, Ferguson demostra la següent caracterització:

Caracterització. Un vector aleatori té distribució de Cauchy (en el sentit anterior) si i només si la seva funció característica és de la forma

$$\varphi ({\boldsymbol {t}})=e^{i\alpha ({\boldsymbol {t}})-g({\boldsymbol {t}})},\qquad \qquad (5)$$

on $g({\boldsymbol {t}})\geq 0$ i $\alpha ({\boldsymbol {t}})$ són funcions reals tals que per a tot número real $c\in \mathbb {R}$,

$$g(c\,{\boldsymbol {t}})=\vert c\vert \,g({\boldsymbol {t}})\quad {\text{i}}\quad \alpha (c\,{\boldsymbol {t}})=c\,\alpha ({\boldsymbol {t}}).$$

A més, si la distribució és simètrica respecte un punt ${\boldsymbol {\alpha }}\in \mathbb {R} ^{p}$, llavors

$$\alpha ({\boldsymbol {t}})={\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }{\boldsymbol {t}}.$$

De les propietats que hem estudiat anteriorment, es dedueix que aquesta definició és més general que la que hem donat al principi i inclou més casos. Veiem-ne uns exemples:

1. Siguin $X_{1}$ i $X_{2}$ dues variables de Cauchy estàndard ${\mathcal {C}}(0,1)$ independents, i considerem el vector bidimensional ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},X_{2})^{\prime }$. Per les propietats de la distribució de Cauchy, el vector ${\boldsymbol {X}}$ compleix la definició de Ferguson (també es pot veure que la seva funció característica és de la forma (5)). D'altra banda, la seva funció de densitat és
   $$f_{\boldsymbol {X}}(x_{1},x_{2})={\frac {1}{\pi ^{2}}}{\frac {1}{(1+x_{1}^{2})(1+x_{2}^{2})}},$$
   que no té la forma (1), i que per tant no compleix la definició inicial (alternativament es poden utilitzar la funcions característiques).
2. La definició de Ferguson inclou vectors aleatoris sense funció de densitat mentre que la definició del principi no. Per exemple sigui $X_{1}\sim {\mathcal {C}}(0,1)$ i $X_{2}=X_{1}$ . El vector ${\boldsymbol {X}}=(X_{1},X_{2})^{\prime }$ compleix la definició de Ferguson però no té funció de densitat ja que està concentrat en la diagonal de pla $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:\,x=y\}$.