Model quàntic de Heisenberg

El model quàntic de Heisenberg, desenvolupat per Werner Heisenberg, és un model mecànic estadístic utilitzat en l'estudi de punts crítics i transicions de fase dels sistemes magnètics, en el qual els spins dels sistemes magnètics es tracten de manera mecànica quàntica. Està relacionat amb el model prototípic d'Ising, on a cada lloc d'una gelosia, un gir $\sigma _{i}\in \{\pm 1\}$ representa un dipol magnètic microscòpic al qual el moment magnètic és amunt o avall. Excepte l'acoblament entre moments dipolars magnètics, també hi ha una versió multipolar del model de Heisenberg anomenada interacció d'intercanvi multipolar.

Per raons de mecànica quàntica (vegeu interacció d'intercanvi o Magnetism § Quantum-mechanical origin of magnetism), l'acoblament dominant entre dos dipols pot fer que els veïns més propers tinguin la menor energia quan estan alineats . Sota aquesta suposició (de manera que les interaccions magnètiques només es produeixen entre dipols adjacents) i en una xarxa periòdica unidimensional, l'hammiltonià es pot escriure en la forma

${\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}\sigma _{j+1}-h\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}$

on $J$ és la constant d'acoblament i els dipols estan representats per vectors clàssics (o "spins") σ_j, subjectes a la condició de límit periòdica $\sigma _{N+1}=\sigma _{1}$ . El model de Heisenberg és un model més realista, ja que tracta els girs de forma quàntica, substituint el gir per un operador quàntic que actua sobre el producte tensor. $(\mathbb {C} ^{2})^{\otimes N}$, de dimensió $2^{N}$. Per definir-lo, recordeu les matrius de Pauli spin-1/2.

Aplicacions

• Un altre objecte important és l'entropia d'entrellaçament. Una manera de descriure-ho és subdividir l'estat fonamental únic en un bloc (diversos girs seqüencials) i l'entorn (la resta de l'estat fonamental). L'entropia del bloc es pot considerar com a entropia d'entrellaçament. A temperatura zero a la regió crítica (límit termodinàmic) escala logarítmicament amb la mida del bloc. A mesura que augmenta la temperatura, la dependència logarítmica es converteix en una funció lineal. Per a temperatures grans la dependència lineal se segueix de la segona llei de la termodinàmica.

• El model de Heisenberg proporciona un exemple teòric important i manejable per aplicar la renormalització de la matriu de densitat.
• El model de sis vèrtex es pot resoldre utilitzant l'ansatz algebraic de Bethe per a la cadena de spin de Heisenberg (Baxter 1982).
• El model de Hubbard mig ple en el límit de les interaccions repulsives fortes es pot mapar a un model de Heisenberg amb $J<0$ que representa la força de la interacció de superintercanvi.
• Els límits del model a mesura que l'espaiat de la gelosia s'envia a zero (i es prenen diversos límits per a les variables que apareixen a la teoria) descriuen teories de camps integrables, tant no relativistes com l'equació de Schrödinger no lineal, com relativistes, com ara la $S^{2}$ model sigma, el $S^{3}$ el model sigma (que també és un model quiral principal) i el model sine-Gordon.
• Càlcul de determinades funcions de correlació en el pla o gran $N$ límit de N = 4 teoria supersimètrica de Yang–Mills