Usuari:Freut/proves

En teoria de probabilitat i estadística, la distribució uniforme contínua és una família de distribucions de probabilitat per a variables aleatòries contínues tals que, per a cada membre de la família, tots els intervals d'igual longitud en el seu suport són igualment probables. El suport està definit per dos paràmetres, a i b, que són els seus valors mínim i màxim. La distribució és sovint escrita de forma abreujada com U(a, b). També es diu que una variable aleatòria amb distribució uniforme U(a,b) està uniformement distribuida a l'interval (a,b) (o a l'interval [a,b]).

Caracterització

Funció de densitat de probabilitat

La funció de densitat de probabilitat de la distribució uniforme contínua és:

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&\ \ \ \mathrm {si} \ a\leq x\leq b,\\\\0&\mathrm {si} \ x<a\ \mathrm {o} \ x>b,\end{matrix}}\right.$

Els valors en ambdós extrems a y b no són, en general, importants perquè no afecten el valor d'integrales f(x) dx sobre el intervalo, ni de x f(x) dx o expresiones similares, que són les que s'utilitzen per a calcular probabilitats, esperances, etc. A vegades s'eligeix que siguin cero, però a vegades sels hi dóna el valor 1/(b − a).

Funció de distribució de probabilitat

La funció de distribució de probabilitat es:

$F(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{si }}x<a\\\\{\frac {x-a}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{si }}a\leq x<b\\\\1&{\mbox{si }}x\geq b\end{matrix}}\right.\,\!$

Funcions generadores associades

Funció generadora de moments

La funció generadora de moments és

$M_{X}(t)=E(e^{tX})={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}},\,\!$

a partir de la qual es poden calcular els moments m_k

$m_{1}={\frac {a+b}{2}},\,\!$

$m_{2}={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}},\,\!$

i, en general,

$m_{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}.\,\!$

Per a una variable aleatòria amb aquesta distribució, l'esperança matemàtica és entonces m₁ = (a + b)/2 i la variància és m₂ − m₁² = (b − a)²/12.

Propietats

Estadístics d'ordre

Sigui X₁,..., X_n una mostra i.i.d. de variables U(0,1). Sigui X_(k) l'estadístic d'ordre k-èsim d'aquesta mostra. Llavors, la distribució de probabilitat de X_(k) segueix una distribución Beta amb paràmetres k i n − k + 1. L'esperança matemàtica és

$\operatorname {E} (X_{(k)})={k \over n+1}.$

Això és úil quan es fan Q-Q plots.

Les varianciess són

$\operatorname {Var} (X_{(k)})={k(n-k+1) \over (n+1)^{2}(n+2)}.$

Distribució uniforme estàndar

Si prenem $a=0$ i $b=1$, la distribució U(0,1) s'anomena distribució uniforme estàndar.

Una propietat interesant de la distribució uniforme estàndar és que si la variable aleatòria U té una distribució uniforme estàndar, llavors la variable V=1-U també té una distribució uniforme estàndaar.

Distribucions relacionades

Si X té una distribució uniforme estàndard, llavors:

• Y = -ln(X)/λ té una distribució exponencial amb paràmetro λ (òbviament λ>0).
• Y = 1 - X^1/n té una distribució beta amb paràmetros 1 y n. (Noteu que això implica que la distribució uniforme estàndard és un caso especial de la distribució beta, amb paràmetres 1 y 1).

Relacions amb altres funcions

Sempre que es segueixen les mateixes convencions als punts de transició, la funció de densitat es pot expressar també mitjançant la funció esglaó de Heaviside:

$f(x)={\frac {\operatorname {H} (x-a)-\operatorname {H} (x-b)}{b-a}},\,\!$ o en termes de la funció rectangular

$f(x)={\frac {1}{b-a}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {x-\left({\frac {a+b}{2}}\right)}{b-a}}\right).$

No hi ha ambigüedad en el punt de transició de la funció signe. Utilizant la convenció de la meitat del máxim en els punts de transició, la distribució uniforme es pot expressar a partir de la funció signe com:

$f(x)={\frac {\operatorname {sgn} {(x-a)}-\operatorname {sgn} {(x-b)}}{2(b-a)}}.$

es continua, entonces la prueba estadística esta uniformemente distribuida entre 0 y 1 si la hipótesis nula es verdadera.

Simulació de variables aleatòries per ordinador

La distribució uniforme és la base de la simulació de variables aleatòries per ordinador. Molts llenguatges de programació poden generar nombres pseudoaleatoris els quals estan distribuits d'acord amb una distribució uniforme estàndar.

Si, per exemple, volem simular una variable uniforme U(a,b), aleshores s'utilitza que si U es una variable aleatòria amb distribución uniforme estàndar U(0,1), llavors a + (b − a)U segueix una distribució uniforme U(a,b).

Exemple de la distribució uniforme estàndard

En aquest cas tenim $a=0$ y $b=1$.

llavors:

• $f(x)=1$ per a $0\leq x\leq 1$

• $F(x)=x$ per a $0\leq x\leq 1$

• $\operatorname {E} (X)=0,5$

• $\operatorname {Var} (X)=1/12$

• $\sigma _{X}={\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}={\sqrt {1/12}}\approx 0.29$

Enllaços externs

• Calculadora - Distribución uniforme continua
• [1] Calcular la probabilidad de una distribución uniforme con R (lenguaje de programación)

Plantilla:ORDENAR:Uniforme, distribució