Rectangle

Rectangle de base 5 i altura 4. El seu perímetre és 18 i la superficie 20

Un rectangle és un polígon quadrilàter del grup dels paral·lelograms tal que tots els seus angles són angles rectes. Es caracteritza del quadrat per no ser un polígon regular, o sigui, que no tots els seus costats són iguals (tenen la mateixa mida). Es pot considerar el quadrat com un cas concret de rectangle en què tots els seus costats tenen la mateixa longitud.

El perímetre, L, d'un rectangle de base b i altura h és:

$L=2\cdot b+2\cdot h\,$

L'àrea, també denominada com a superfície (S) d'un rectangle de base b i altura h és:

$S=b\cdot h\,$

La revolució d'un rectangle a l'espai sobre qualsevol dels seus costats genera un cilindre.

El terme oblong es fa servir sovint per fer referència a rectangles que no són quadrats.

Propietats

Rectangle ABCD. d és una de les dues diagonals.

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Rectangle

1. Els seus costats paral·lels són iguals.
2. Les dues diagonals d'un rectangle de base $b$ i altura $h$ mesuren ${\sqrt {a^{2}+h^{2}}}$.
3. Les seves dues diagonals es bisequen mútuament en el punt mig comú; (aquesta característica també el defineix). Aquest punt és el centre de la figura, en el sentit que tota recta que passa per ell, tala al rectangle en dos punts equidistants del centre, per la qual cosa defineix una simetria respecte a un punt per als punts del rectangle.
4. El rectangle té dues simetries axials, respecte a eixos paral·lels als seus costats i que passen pel centre.
5. Qualsevol rectangle es pot inscriure en una circumferència, dos dels diàmetres del qual coincideixen amb les diagonals del rectangle.
6. Usant com a base d'un triangle una base del rectangle i el punt mig del costat oposat, com a vèrtex oposat, resulta un triangle isòsceles d'àrea igual a la meitat de la del rectangle.
7. Emprant com a base de qualsevol triangle la base del rectangle i com a vèrtex oposat un punt que dista com l'altura del rectangle, s'obté una família de triangles equivalents i els vèrtexs dels quals formen un lloc geomètric: la recta paral·lela a la base del rectangle.
8. Si s'uneixen els punts mitjans M, N; P, Q de sengles costats d'un rectangle, mitjançant segments es genera el rombe MNPQ.

Teoremes

El teorema d'isoperimetría per a rectangles estableix que d'entre tots els rectangles amb un perímetre donat, el quadrat és el que té major àrea.

Un paral·lelogram amb diagonals iguals és un rectangle.

El punt mig dels costats de dos quadrilàters qualssevol amb diagonals perpendiculars formen un rectangle.

El teorema japonès per a quadrilàters cíclics afirma que els incentres dels quatre triangles determinats pels vèrtexs d'un quadrilàter cíclic agafats tres alhora formen un rectangle.

The teorema de la bandera britànica afirma que siguin els vèrtexs d'un rectangle anomenats A, B, C, i D, per tot punt P en el mateix pla que el rectangle:

$\displaystyle (AP)^{2}+(CP)^{2}=(BP)^{2}+(DP)^{2}.$

A tot cos convex C en el pla, se li pot inscriure un rectangle r en C tal que una còpia homotètica R de r és circumscrita a C i la raó homotètica positiva és com a màcxim de 2 i $0.5{\text{ × Area}}(R)\leq {\text{Area}}(C)\leq 2{\text{ × Area}}(r)$.

Existeix un únic rectangle amb costats $a$ i $b$, on $a$ és inferior a $b$, amb dues maneres de ser doblegat respecte d'una línia a partir del seu centre de tal manera que l'àrea de solapament sigui minimitzada i cada àrea dóna una forma diferent – un triangle i un pentàgon. El ratio únic dels costats és $\displaystyle {\frac {a}{b}}=0.815023701...$.

Magnituds geomètriques per a un rectangle

Donada una figura bidimensional poden definir-se els n-moments d'àrea centrats com:

$M_{x_{1}\dots x_{n}}^{(n)}=\int _{A}x_{1}\dots x_{n}\ dA$

El 0-moment coincideix amb l'àrea, els dos 1-moments s'anomenen primers moments d'àrea (o moments estàtics) $\scriptstyle S_{x}=M_{x}^{(1)},\ S_{y}=M_{y}^{(1)}$ són nuls per a qualsevol figura plana. Els 2-moments s'anomenen segons moments d'àrea (o moments d'inèrcia plans) i per a un rectàngle són:

$I_{xx}=M_{xx}^{(2)}={\frac {bh^{3}}{12}},\quad I_{yy}=M_{yy}^{(2)}={\frac {hb^{3}}{12}},\quad I_{xy}=I_{yx}=M_{xy}^{(2)}=0$

On b és la base del rectangle i h la seva altura.

Tessel·lacions quadrades, perfectes i altres

Un rectangle perfecte d'ordre 9

Quadrat quadrat perfecte de menor ordre (1) i els tres quadrats quadrats perfectes més petites (2–4) – all are simple squared squares

Un rectangle tessel·lat per quadrats, rectangles o triangles rep el nom de rectangle "quadrat", "rectangulat", o "triangulat" (o "trianglat") respectivament. El rectangle tessel·lat és a més perfecte si les seves parts són semblants i finits en nombre i no hi ha dues parts d'igual mida. Si hi ha dos o més tessel·les són d'igual mida, la tessel·lació és imperfecta. En un rectangle triangulat perfecte (o imperfecte) els triangles han de ser triangles rectangles. Es pot trobar una base de dades de tots els rectangles, quadrats i altres formes perfectes coneguts a squaring.net.

El menor nombre de quadrats que calen per a tessel·lar perfectament un rectangle és 9 i el menor nombre de quadrats que calen per "quadrar" perfectament un quadrat és 21, descobert computacionalment l'any 1978.

Un rectangle té costats commensurables si i només si és tessel·lable per un nombre finit de quadrats no iguals. Això mateix és veritat si les peces són triangles rectangles isòsceles diferents.

Les tessel·lacions de recangles amb altres formes que han rebut més interès són aquells fets amb poloòminos congruents no rectangulars, que permeten totes les rotacions i reflexions. També hi ha tessel·lacions amb poliàbolos congruents.

Vegeu també

• Paral·lelogram
• Quadrat
• Quadrilàter
• Polígon